Б. М. Попов
04.07.2012 г.

  На главную раздела "Научные работы"





          Наряду с порядковыми, алгебраическими и топологическими структурами в математике появились фрактальные структуры, то есть себеподобные, сетеподобные, безэлементные структуры. Появились как результат синтеза трех указанных выше структур — как качественно новые структуры. Простейшие фракталы (геометрические) представлены на рис.

Пример изображения

          Функция любых сетей — фильтрация. Так, рыболовная сеть отфильтровывает рыбу от воды. Фильтрация — единственный динамичный фундаментальный природный процесс. Показанные на рисунке фракталы демонстрируют фильтрацию геометрических фигур по форме инвариантно к масштабу. Разумеется, фракталы могут быть не только геометрическими, но и временными, и логическими, и смысловыми и т. п. Кстати, в отличие от других математических объектов, фракталы беспредельно нелинейны. Так sin (x) →x при x →0. Фрактал же всегда (независимо от масштаба) остается подобным только себе. В определенном смысле фракталы являются развитием алгоритмов. Алгоритм предписывает, что делать, фрактал — что не делать, каким нельзя быть. Фракталы (в отличие от линий, плоских и объемных тел) обладают дробной размерностью, в принципе уникальной для каждого фрактала. Предполагая, что любой инвариант (трактуемый как база для восприятий и взаимодействий) имеет фрактальное представление (это почти очевидно), приходим к выводу, что фрактальная размерность есть численная характеристика инварианта. Поверьте на слово, Пифагор имел в виду именно это, говоря «все есть число». Вот еще задача на сообразительность. Мы имеем некоторые представления об отличии двухмерных объектов (плоских фигур) от трехмерных (объемных тел), а чем будут отличаться объекты, допустим, размерности 2,71 от объектов размерности 2,69? Известно, что нельзя измерить, например, объем в квадратных метрах. Объемные тела и плоские фигуры несоизмеримы. Есть ли какая «общая мера» для объектов пространств разной дробной размерности? Откуда известно, что пространство именно точно трехмерное? Евклид сказал, и все уверенно повторяют. Вот и несоизмеримость радиуса и окружности, катетов и гипотенузы равностороннего треугольника никого не тревожит! Об аксиоме Евдокса — Архимеда слышали, пожалуй, даже не все математики.

          В контексте содержания материала нашей книги и используемых при этом методов яснопонимания, естественным является применение теории логических типов из математической философии Б. Рассела и теории групп Э. Галуа. Кратко, но в необходимом для применения объёме, изложим суть этих теорий.

          Теория логических типов утверждает, что никакой класс в логическом или математическом рассуждении не может быть членом самого себя. Короче: имя не есть поименованная вещь. Вспомним парадокс армейского брадобрея — брадобрея, который должен по приказу брить только тех, кто не бреется сам. Без применения теории логических типов парадоксально (неразрешимо для капрала) смотрится вопрос: может ли побрить брадобрей сам себя, не нарушив приказа?

          Группа в математике — это математическая абстракция второй ступени. Математическими абстракциями первой ступени в математике являются числа, вектора, геометрические фигуры, топологические структуры и т. д. Множество G, в котором задана некоторая операция, сопоставляющая двум элементам a и b из G некоторый элемент a ∙ b того же множества G, называют группой, если выполнены следующие свойства для любых a и b из G:
1) a ∙( b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c ;
2) существует такой элемент e в G (единица или нейтральный элемент группы G), что a ∙ e = a;
3) для любого a из G существует такой элемент, а‾1 (обратный элемент), что a ∙ а‾1 = e, а‾1 ∙ a ∙ = e;
4) если, кроме того, для любых a и b из G справедливо a∙b = b∙a, то группа G называется абелевой.
          Множества всех действительных чисел, векторов, движений на плоскости и т. д. являются группой. Суть теории групп состоит в том, что, доказав на основе аксиом 1-4 некоторые теоремы теории групп, можно утверждать, что они справедливы и для чисел, и для векторов, и для любой другой абелевой группы.

          Понимаю, что читатели с абсолютным математическим профилем сознания в этом месте поморщатся, увидят отсутствие аксиомы существования, но мы лишних знаний не даём. Вообще, группа — это отображение множества на себя. Эти же необходимы для понимания и развития учения о системах и структурах организаций. Система по отношению к элементам организации является «абстракцией второй ступени». Система — это некая направленность (предписание), которая определённым образом интегрирует элементы в структуры организации, но сама элементом организации не является.
 
          В математике (и не только в ней) [11] понятия вводятся двумя принципиально разными путями. Первый путь основан на использовании прямого или конструктивного определения — явного построения соответствующего объекта, второй — на использовании косвенных (описательных или дескриптивных) определений, задающих тот или иной объект перечислением требуемых свойств. Понятно, что дескриптивных определений больше, чем конструктивных. Нахождение конструктивного определения того или иного объекта, ранее заданного лишь дескриптивно, попутно дает доказательство его существования, а косвенные (дескриптивные) определения в математике (и не только в ней) могут описывать и бессмысленные или несуществующие объекты. Так, например, подброшенное в свое время философией науке дескриптивное (и заманчивое) определение «философского камня» надолго обрекло ученых (и неученых) на поиск его конструктивного определения.

          Однако наряду с основной задачей преобразования дескриптивных определений в конструктивные, бывает, актуальна и обратная задача — выделение характеристической группы свойств того или иного конструктивно (явно) заданного объекта: неудобно ведь при каждом упоминании объекта предъявлять подробную схему его устройства. Эта задача похожа на создание настоящих произведений искусства — представление бесконечного конечными средствами. По сути, люди в жизни только и заняты тем, что преобразуют дескриптивные определения в определения конструктивные и наоборот. Стоит обратить внимание и на одно бытовое обстоятельство: экран телевизора не дает нам полных сведений о событиях, происходящих во всем телевизионном процессе.

          Математика определяет и собственно определение как задание математического объекта, позволяющее однозначно отличить его от других. Но перечисленные выше понятия (организация, структура, система), как и представляемые ими «объекты», находятся в контекстной зависимости и поэтому будут определяться друг через друга, конструктивно и дескриптивно.

          Приведем два понятия из области математики, имеющих отношение к определению функций:

          рекурсия — способ определения функций, при котором значения в каждой точке определяются через значения в предшествующих точках. Применительно, например, к определению строки букв рекурсивное определение будет следующим: «Строкой букв называется 1) отдельная буква, а также 2) строка букв, к которой приписана еще одна буква». Определения такого вида, имеющие прямую часть (базу рекурсии) и циклическую часть с расширяющимся оператором, называются рекурсивными, или, по-иному, определениями по индукции,
          инволюция — такое отображение математического объекта на себя, квадрат которого является тождественным, например: для множества М инволюция ƒ есть такое преобразование, что ƒ(ƒ(х)) = х для всех х из М.

          Посмотрим на рекурсию еще и в контексте разработки сложных технических комплексов. Первая работающая версия изделия является лучшим (точнее, единственно надежным) инструментом для создания более совершенного варианта образца. Т. е. первая работающая версия здесь представляет базу рекурсии, а циклически следующий ряд усовершенствованных образцов — расширяющийся оператор рекурсии. Обычно, если первая версия сразу не начала работать, то проект обречен на неудачу. Циклическая часть будет здесь генерировать крах проекта.

          И, наконец, еще два маленьких математических определения, способных облегчить понимание сущности структур организации.

          Математическая структура — это задание дополнительных условий (операций, отношений, топологии и т. д.) на множестве, природа элементов которого не определена. Математик Н. Бурбаки определил структуру как систему S = {M; R1, R2, …, Rn}, состоящую из определённого основного множества M = {a, b, c, …} и заданных на этом множестве (унарных, бинарных, тернарных и т. д.) отношений R1, R2, …, Rn. Понятно, что и система имеет свою структуру, и структура подчинена некой системе. По-иному они не могут быть организованы. Но, по крупному, в математике системой является система аксиом, которая должна быть непротиворечивой, полной и независимой. Только из такой совокупности аксиом выводятся математические теории (организации).

          Пространство (математическое) — это логически мыслимая структура, служащая средой, в которой осуществляются другие структуры, формы и те или иные конструкции, а также фиксируются отношения между ними.

          Из приведённых выше определений легко понять, что система — это проект структуры. Просто «структуры» — не бывает. Структура принадлежит организации как результат воплощения системы. След ее «деятельности». Теперь мы готовы к рассмотрению такой целостной триады как триада «организация-структура-система».

          Вспомним мысль китайского философа Хуай Нан Цу: «Тот, кто следует естественному порядку, участвует в потоке Дао». Поток Дао — организация, естественный порядок — система, история и результаты деятельности следующих естественному порядку — структура.



В начало                              Продолжение
 

Добавить комментарий Сообщение модератору


Защитный код
Обновить