Б. М. Попов
04.07.2012 г.

  На главную раздела "Научные работы"





Специальная математика

Математика — знание, которое создано человеком,
но обладает совершенно независимой от него значимостью.
Р. Штайнер

          Изучение математики в настоящее время не сопряжено со вскрытием ее основного содержания. Для его прояснения воспользуемся авторитетным мнением Анри Пуанкаре [7], мнением, которое, выражая характер и смысл применения математических методов, звучит следующим образом: «Можно задать вопрос: почему в физических науках обобщение так охотно принимает математическую форму? Причина этого понятна: она состоит не только в том, что приходится выражать числовые законы, но, прежде всего, в том, что наблюдаемое явление есть результат суперпозиции большого числа элементарных явлений, подобных друг другу: значит, здесь вполне естественно появиться дифференциальным уравнениям. Однако недостаточно, чтобы каждое элементарное явление подчинялось простым законам; все подлежащие сочетанию явления должны подчиняться одному и тому же закону. Только в этом случае математика может принести пользу, потому что она научит нас сочетать подобное с подобным. Цель ее — предсказывать результат сочетания, не проделывая его шаг за шагом на самом деле. Когда приходится повторять несколько раз одну и ту же операцию, математика позволяет нам избежать этого повторения и путем особого рода индукции заранее узнать нужный результат. Однако для этого необходимо, чтобы все эти операции были подобны друг другу; в противном случае, очевидно, пришлось бы на деле выполнить их одну за другой и помощь математики оказалась бы ненужной. Таким образом, возможность рождения математической физики обусловлена приблизительной однородностью изучаемого предмета. Это условие не выполняется в биологических науках: здесь мы не находим ни однородности, ни относительной независимости разнородных частей, ни простоты элементарного явления. Вот почему биология вынуждена прибегать к иным приемам обобщения».

          Вспоминая марксистско-ленинскую философию, можно сказать, что «особый вид индукции» — математическая индукция — работает в тех сферах, где количественные изменения не приводят к качественным скачкам. Теперь, вооружившись математической методологией и ее философским обоснованием, попробуем (в порядке тренировки) рассмотреть решение арифметической задачи. Задача и ее решение излагаются в полном соответствии с [8].

          Карандаш и тетрадь стоят 5 копеек. Тетрадь стоит на одну копейку больше, чем карандаш. Сколько стоит карандаш?

          Пользуясь арифметикой, мы без особого труда получим ответ: карандаш стоит две копейки. Но ведь эту задачу можно решить и путем перебора, без математики. Действительно, возьмем 5 монеток, по одной копейке каждая; два листка бумаги, на одном из которых написано: «столько стоит карандаш», на другом — «столько стоит тетрадь». Теперь разложим наши монетки всеми возможными способами на две кучки, лежащие на разных листках (всего таких способов четыре: (1, 4); (2, 3); (3, 2), (4, 1)). Затем из этих разложений выберем те, в которых число монеток, оказавшихся на листке с надписью «столько стоит тетрадь», на одну больше, чем на другом листке. Таких разложений всего одно, и оно, как это ни странно, совпадает именно с тем разложением, которое было ранее найдено при помощи математических методов.

          Из этого следует, что математика не позволяет получить ничего нового, она нужна только для того, чтобы своими методами избежать полного перебора вариантов, существующих, вообще говоря, только в нашей голове. И вот в этом-то она (математика) достигает поистине ошеломляющих успехов. Тут сама природа идет нам навстречу. В природе нет большого разнообразия. Все природные объекты как будто «сошли с большого конвейера»: бесчисленное количество идентичных друг другу элементарных частиц, атомов, а также звёзд, галактик и т. д., с одним и тем же характером поведения. Исключения вредны, ибо они заменяют правила. И природа знает это лучше нас. Может быть, множество единообразных движений (объектов) производится (генерируется) сознанием? Генерация (как явление) возможна только в виде информационного копирования. Она производится где-то «в голове». Вот откуда происходит «конвейерность» природных процессов и объектов (например, идентичность элементарных частиц и т. п.), и наличие «законов природы», и квантовая телепортация (движение). Откуда природа возьмет бесконечные ресурсы? Говорят же некоторые философы, что мир — это только иллюзия. Своего рода бумажная денежная масса, ничем (почти) не обеспеченная. Однако будем пока держаться подальше от столь рафинированного мракобесия, хотя отделить реальность от того, кто её фиксирует, невозможно. Сознание просто есть, и оно, в конечном счете, и является единственной реальностью.

          В отличие от человека, природа головы не имеет, ее дееспособность сильно ограничена этим обстоятельством, она не способна поступать иначе, как только правильно, природа не способна к генерации химер, чтобы потом бороться с ними математическими средствами. А человеку приходится. Народная мудрость не оставила незамеченным этого обстоятельства, отметив его поговоркой: «Дурная голова ногам покоя не дает».

          После шутки столь сомнительного содержания, представляется необходимым (в том числе и в порядке извинения) привести мнение о голове и природе профессионального философа Карена Свасьяна [9]. В интервью для журнала «ЭКСПЕРТ» он говорит: «В философской традиции налицо некий слепой угол, на счет которого следовало бы отнести большинство философских срывов и тупиков. Философы во все времена отличали мир от мысли и находили мир всюду, кроме головы. Считалось, что мир — там, «вовне», а мысль — «внутри», после чего возникал фатальный вопрос о познаваемости или непознаваемости мира со всеми его бредовыми «вещами в себе» и так далее. … Спросите любого (философа или нефилософа, всё равно), где находятся вещи. Он покажет на мир вокруг себя. А теперь спросите его, где находятся мысли о вещах. Он ткнёт пальцем в голову. Как будто сама голова с мыслями (или без них) существует не в мире, а чёрт знает где. … Глаз видит дерево. Дерево в мире и мир. Но глаз, видящий мир, — тоже мир. Было бы любопытным послушать шутника, отказавшего бы ему в этом. На этой простой очевидности (или, по Ницше, «оскорбительной ясности») рушатся философии и лопаются умы. Дело не в том, чтобы понять её, а в том, чтобы выдержать её последствия. Если глаз, видящий мир, есть и сам мир, то мир не только видим, но и видит».

          Иначе говоря: мир не только мыслим, но и мыслит. Вспомним, кстати, декартовское высказывание «Мыслю, следовательно, существую». Мир существует. Получим, применительно к миру, неделимую триаду: существует, мыслим, мыслит. По сути, мы здесь имеем семантический треугольник Фреге: концепт (смысл), денотат (означаемое), сигнифика (означающее). Философ не только правильно говорит (правильно говорят почти все), но и правильно мыслит. Вот поэтому особенно актуален его призыв спасать природу, прежде всего, от загрязнения неправильными мыслями, а не веществами. Теперь читателю будет понятен смысл названия (неоднократно цитируемой нами) книги Грегори Бейтсона — «Экология разума». Эти задачи способна решать только математика.

          По отношению к рассматриваемым в настоящей работе проблемам, самым выдающимся современным математиком представляется Анри Пуанкаре. Одна из доказанных теорем относится к вопросам взаимодействия частиц (элементов) т. н. динамических систем (мы сохраняем здесь термин «система» в понимании Пуанкаре).

          Системы, в которых элементы не взаимодействуют, Пуанкаре назвал «интегрируемыми». Интегрируемые системы становятся изоморфными (одинаковыми в математическом смысле) системами свободных частиц, и простейшая форма, которую принимают их уравнения движения, делают возможным интегрирование этих уравнений, т. е. явное вычисление траекторий. К числу интегрируемых относятся, например, движение системы двух тел, таких, как Земля-Солнце. Все динамические системы, описываемые в элементарных учебниках, интегрируемы. Это создает иллюзию их повальной интегрируемости. Однако в своей фундаментальной теореме Пуанкаре доказал, что в общем случае динамические системы (в которых происходит взаимодействие) не интегрируемы. Земля-Солнце — частный случай. Кроме того, он показал, почему динамические системы не интегрируемы: причина кроется в возникновении резонанса. Но ведь «звездное небо над нами» и как-то там все проинтегрировано. Дальше (в разделе «Параметрическое управление») покажем, как такое может быть, т. е. как могут вечно существовать организации с явной внутренней динамикой без прямого взаимодействия элементов, а с влиянием их друг на друга при коллективном решении задачи по единой системе. После этого само слово «взаимодействие» занесем в разряд ненормативной лексики и перестанем его употреблять. Для этого придется принести в жертву истине «закон всемирного тяготения» Ньютона. Жертва невелика, так как этот «закон» математически несостоятелен не только из-за теоремы Пуанкаре, но еще и потому, что Ньютон наделил сверхъестественными математическими способностями материальные точки. В самом деле, явление «всемирного тяготения» представляется универсумом «машин Ньютона», конструктивно состоящих из материальных (бесструктурных) точек. Они функционально способны мгновенно оценивать массы всех остальных материальных точек Вселенной и расстояния до них и, в соответствии с полученными данными, вычислять (мгновенно) по формуле Ньютона (с бесконечно высокой точностью) свое новое положение в абсолютном пространстве и реализовать туда свое перемещение. Решают трансвычислительную задачу. Вот это машины! Далеко до них известным из математики абстрактным универсальным машинам Тьюринга и Поста.

          Математика доказывает раз и навсегда. Но любой математик подтвердит, что математическое доказательство — это просто столь убедительные рассуждения, что понявший их готов, бросив все, бежать и убеждать в этом других. В математике (конструктивной) доказательством существования того или иного объекта может быть только указание способа его построения, конструирования. Основу математических понятий составляют структуры, производящие математические выражения. Математические выражения не только математическим выражениям инвариантны. Когда они очень громоздки, то легко заменяются выражениями иного (но тоже математического) характера, без потери смысла излагаемого. Имеется в виду формула Лежена Дирихле: «Одолевать проблему при минимуме слепых вычислений и максимуме наглядных идей». Структура (инвариант) сохраняется. Математика — это, прежде всего, обобщение, осознание. Кант говорил: «В каждом знании столько истины, сколько в нем математики». Но это не значит, что любая переполненная формулами статья всегда содержит истину, отличную от истин об ее бессодержательности и амбициозности авторов. Такие, неудачные с математической точки зрения, работы родственны напиткам с названием типа «Слива на коньяке». Только очень неадекватный человек станет совать в настоящий коньяк сливы или сыпать в него ягоды рябины. Но и коньячный спирт еще не коньяк. Вот то, что делает коньячный спирт коньяком, и есть «коньячная математика». Люди с огромным трудом принимают очевидный факт, что средства математических исчислений лишь преобразовывают входные данные в выходные, не генерируя не только нового знания, но и новой информации. Т. е. математика является идеальным переводчиком: ничего не теряет, но ничего и не добавляет. Л. Витгенштейн говорил, что в жизни нет таких математических предложений, в которых мы бы нуждались, математические предложения мы употребляем только для того, чтобы из предложений, не принадлежащих математике, выводить другие, равным образом не принадлежащие математике.

          Нужно отметить, что та роль, которую играет математика в современной физике, была отведена ей Галилео Галилеем. Именно с предложенного им плана исследования природы берёт начало современная математическая физика. Согласно [10], подход Галилея к постижению природы состоял в том, чтобы получить количественные описания явлений, представляющих научный интерес, независимо от каких бы то ни было физических объяснений. Галилей разделял мнение Птолемея о том, что природа сотворена по математическому плану и решительно отдавал предпочтение поиску математических формул, описывающих явления природы. Поначалу возникали вопросы: много ли проку в «голых» математических формулах? Ведь они ничего не объясняют. Тем не менее, именно формулы оказались наиболее ценным на тот момент знанием. Человечество накопило количественное описательное знание и научилось пользоваться им. Этого не смогли дать ни метафизические, ни теологические объяснения причин наблюдаемых явлений. Правда, Галилей ввёл ещё один принцип, сильно ограничивающий круг рассматриваемых явлений, который заключался в том, чтобы измерять измеримое и делать измеримым то, что не поддаётся непосредственному измерению. Исследования, которые проводятся не по его методу, предложил считать «болтовнёй». Но разве мир ограничен только тем, что поддается измерению и демонстрации? Уже квантовая механика даёт несколько иные представления о мире. Да и энтропию, например, нельзя измерить, а можно только рассчитать. Кто видел «энтропиометр»? Для освоения большинства простых явлений количественный подход доказал свою состоятельность, но он, по понятным причинам, несостоятелен, скажем, применительно к организациям. Здесь одной количественной математикой обойтись невозможно.



В начало                              Продолжение
 

Добавить комментарий Сообщение модератору


Защитный код
Обновить