24.05.2010 г.

  На главную раздела "Смагин Владимир Александрович"


Доброй памяти академика
Бориса Владимировича Гнеденко
                                                                                              посвящаю


Дублированная замещением система с контролем


1. Модель Б.В. Гнеденко. Система состоит из двух элементов, один из которых находится в рабочем состоянии, а другой – в ненагруженном резерве. После отказа основного элемента он поступает на восстановление, резервный элемент замещает отказавший основной элемент. Если отказывает работающий элемент, а резервный не успевает восстановиться, то происходит отказ системы. Если резервный элемент успевает восстановиться за время работы основного элемента, то он становится резервным и процесс далее повторяется.

Математическая модель безотказной работы системы представляется двумя уравнениями [1]: 

 
 (1)


В (3)   вероятности безотказной работы системы и основного элемента ,  плотность вероятности времени до отказа элемента,       условная вероятность безотказной работы системы при условии, что в начальный момент времени резервный элемент включился в работу, а основной мгновенно начал восстанавливаться. Контроль за состоянием элементов непрерывный и идеальный.

Используя преобразование Лапласа, запишем (1) в виде:


 (2)

где  . Решение системы уравнений (2) имеет вид:

 


 (3)

Из (3) найдём, например, среднее время до отказа системы:

 

    (4)

 

В частности, при экспоненциальных законах распределения времени до отказа    и времени восстановления  получаем:

 


  
 (5)

 2. Учёт неидеальности контроля элементов системы. В [2] предлагается учитывать неидеальность контроля в восстанавливаемой системе введением вероятности  . На эту величину умножается «ресурс восстановления», а именно: где - вероятность невосстановления элемента за время    при условии, что его отказ был обнаружен с вероятностью  .

Величину интеграла  по аналогии с «ресурсом надёжности» профессора Н.М. Седякина  , где - интенсивность отказа элемента, будем называть «ресурсом восстановления». С учётом введения вероятности  в него в дальнейшем будем обозначать вероятности как  а величину ресурса –  . В приведенных выражениях (1)-(5) с вероятностью  должны быть непосредственно связаны   поэтому окончательно можно записать:


  
 (6)

 

 



  
 (7)

 В частном случае, для экспоненциальных распределений, будет справедлива формула:

 

 




 
 (8)

Таким образом, среднее время безотказной работы дублированной системы в этом случае прямо пропорционально достоверности контроля за состоянием отказавшего элемента.

 Пример 1.  Пусть  .      Тогда  при при при .

 

Пример 2. Пусть закон распределения времени до отказа нормальный. Плотность распределения равна  . Закон распределения времени восстановления Вейбулла. Функция распределения времени восстановления равна  . Тогда  . Итак,  . На рисунках 1 показаны графики  построенные для различных значений вероятности  Из них следует, что с увеличением достоверности контроля об отказе элементов системы величина условной вероятности растёт. С увеличением этой вероятности, как и вероятности  значение среднего времени до отказа дублированной системы возрастает, причём возрастание является нелинейным. Это свидетельствует о важности величины достоверности контроля в дублированной системе.

   
Рис. 1.

 

 3. Готовность дублированной системы с контролем. Получить уравнения для исследования готовности дублированной системы при произвольных распределениях непосредственно, как это сделано для определения вероятности (1), достаточно затруднительно. Проще воспользоваться выражением (6) и найти из него изображение Лапласа плотности распределения времени до отказа дублированной системы, применив формулу:

 




 
 (9)

 

 где изображение искомой плотности. Выполнив необходимые преобразования, получим:

 




 
 (10)

 Далее воспользуемся формулой для изображения функции готовности в виде:

 




  
 (11)

в которой изображение плотности вероятности восстановления дублированной системы после её отказа. Обратим внимание на тот факт, что данная плотность может принимать различные виды в зависимости от дисциплины восстановления системы, а именно восстановление обоих элементов может выполняться одной или двумя бригадами. Учтём это в дальнейшем при анализе готовности.
Выражение (11) после подстановки в него (10) приводится к виду:





 
 (12)

 Напомним, что  . Выполнив предельный переход, найдём величину коэффициента готовности: 





 
 (13)

  среднее время восстановления системы одной или двумя бригадами. Можно заметить, что изображениям (11,12) соответствует оригинал – интегральное уравнение:



 ,

 
 (12a)

в котором  вероятность безотказной работы системы, плотность вероятности времени до её отказа и плотность времени её восстановления.
Следует отметить, что представленное здесь исследование готовности имеет приближённый характер, оно даёт оценку готовности снизу. Это объясняется тем, что восстановление отказавшего элемента в системе начинается раньше, чем откажет второй элемент при любой дисциплине обслуживания. Иначе говоря, к моменту отказа второго элемента первый отказавший элемент уже восстанавливался некоторое случайное время.

Пример 3. Предположим, что законы распределения времени до отказа и восстановления элементов экспоненциальные. Интенсивности отказа и восстановления элемента равны  . Если восстановление системы производится одной бригадой, то по формуле (13) получим:





 
 (14)

 Если же восстановление системы производится двумя бригадами, тогда коэф-фициент готовности будет равен:





 
 (15)

 Правильность (14) и (15) можно проверить, применив систему дифференциальных уравнений.

 
Пример 4.
Определить коэффициент готовности системы, если плотность вероятности времени до отказа элемента   , а функция распределения его времени восстановления  .

Тогда  .  Обслуживание двух отказавших элементов производится одной бригадой. Среднее время восстановления обоих элементов равно:        . Подставляя эти значения в формулу  , получим зависимость коэффициента системы от значений параметра контроля  Она показана на рисунке 2. Из рисунка следует, что даже при сравнительно малых значениях параметра контроля коэффициент готовности становится достаточно близким к единице. При обслуживании двумя бригадами восстановления этот эффект будет увеличиваться.


 
Рис. 2.

Заключение.

Получено выражение для функции готовности дублированной системы в преобразовании Лапласа и значение её стационарного состояния при произвольных распределениях времени до отказа и восстановления составляющих элементов.
В полученные выражения введён параметр достоверности контроля за состоянием элементов после их отказа. Величина данного параметра позволяет учитывать длительность восстановления элементов после их отказа. Благодаря этому получено обобщение результата, полученного Б.В. Гнеденко, для готовности дублированной системы с контролем состояния элементов.

Литература


1. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьёв А.Д. Математические методы в теории надёжности. – М.: Наука. – 1965.- 524 с.
2. Смагин В.А. К одной вероятностной модели контроля. (в печати).

 

Материал поступил в редакцию: 20.05.2010г.

 

 

Добавить комментарий Сообщение модератору


Защитный код
Обновить