На главную раздела "Смагин Владимир Александрович"

К одной вероятностной модели контроля в технических

системах (продолжение)

IV. Пример решения оптимизационной задачи в системе с контролем. Определить величину коэффициента готовности системы, состоящей из двух последовательных частей, каждая из которых имеет своё устройство контроля. Законы распределения времени до отказа и времени восстановления частей системы экспоненциальные. Исходные данные:Коэффициенты готовности в силу независимости частей равны: при идеальном контроле – при неидеальном контроле –

 а). Для решения оптимизационной задачи с целью максимизации коэффициента готовности системы положим линейную стоимостную функцию затратВеличину ограничения примем равной

Составим функцию Лагранжа:

  – неопределённый множитель. Введём функции производных от неё:

Приравняем эти функции нулю. Применим процедуру Find для решения системы уравнений:

Выбирая первый столбец значений матрицы и вычисляя, получим:

б). Определение минимальной стоимости системы контроля для достижения заданного значения коэффициента готовности. Пусть требуется достичьПри каких минимальных затратах на контроль можно достичь этого значения К0=0,65 ?

Функция Лагранжа принимает вид:

обозначения производных от этой функции:

 Применение процедуры Find:

Выбирая второй столбец матрицы, получаем:

V. Пример максимизации коэффициента готовности при нормальных законах распределения безотказности и распределениях Вейбулла времени восстановления устройств системы. Примем следующие значения параметров:

 для плотностей вероятностей

 

 графики этих функций представлены на рисунках 1,2.

 Примем величину стоимостного ограниченияАлгоритм решения задачи приведём в виде:

 Окончательно имеем: При этом решении суммарная стоимость контроляа стоимости систем контроля частей –

 VI. Нелинейное ограничение. ПустьТогда получим:

VII. Заключение. Предложена модель учёта достоверности контроля, в системе с восстановлением, выполняемого с целью определения момента отказа системы и перехода к её процессу восстановления.

Отличие данной модели состоит в том, что величина вероятности обнаружения отказа умножается на величину ведущей функции в функции вероятности восстановления. Ведущая функция именуется ресурсом восстановления. Таким образом, величина вероятности правильного контроля управляет величиной ресурса восстановления. Это означает также, что она управляет и величиной периода регенерации случайного процесса восстановливаемой системы.

Приведены примеры численных расчётов оценивания показателей надёжности систем с контролем. Для двух последовательно соединённых подсистем решена задача по оптимизации вероятностей их контроля при наличии стоимостного ограничения на систему.

На наш взгляд, предложенный подход учёта контроля в сложных системах позволит более детально оценивать свойства обслуживаемых технических систем по сравнению с результатами, полученными в [3] на основе приведенных ими моделей.
 
Литература
1. Смагин В.А. Немарковские задачи теории надёжности. – МО СССР. – 1982. – 269 с.
2. Седякин Н.М. Об одном физическом принципе теории надёжности. – Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. – 1966, № 3. – С. 80-87.
3. Барзилович Е.Ю., Каштанов В.А. Некоторые математические вопросы об-служивания сложных технических систем. – М.: Сов. Радио. – 1971. – 247 с.