К одной вероятностной модели контроля в технических системах

I. Рассмотрим некоторую восстанавливаемую техническую систему, которая может в любой момент времени быть либо работоспособной, либо неработо-способной. Если система неработоспособна, то на ней производится восстановление (ремонт). Будем полагать, что ремонт полностью восстанавливает свойства работоспособности системы. Тогда готовность к работе системы в любой момент времени может быть оценена количественно в результате решения интегрального уравнения [1]:

(1)

 котором  вероятность безотказной работы системы в течение времени   a(t) и   плотности вероятности времени до отказа и времени восстановления системы. 

Уравнение (1) решается либо численно, либо аналитически в преобразовании Лапласа. В последнем случае можно записать выражение:

(2)

где символ над любой функцией-оригиналом означает применение к этой функции преобразования Лапласа, а  комплексная переменная преобразования.

В результате применения предельного перехода при  найдём стационарное значение функции готовности – коэффициент готовности системы:

(3)

 где   среднее время работы системы до отказа и среднее время её восстановления.

Выражения (1) -(3) справедливы при условии, что ремонт системы начинается после каждого её отказа мгновенно, что соответствует непрерывному идеальному контролю за её состоянием в течение всего времени работы. Чтобы учесть влияние реальной системы контроля на готовность работающей системы, в литературе по надёжности технических систем, часто рассматривают последовательность этапов процесса работы и контроля и формализуют эту последовательность в виде произведения вероятностей. Это приводит к громоздкости записи выражений вида (1) -(3).

II. Попытаемся предложить несколько другой способ формализации. Напомним, что для вероятности безотказности системы справедлива формула:

(4)

в которой  интенсивность отказа системы, а  ресурс надёжности системы в терминологии профессора Н.М. Седякина [2]. Этот ресурс выработан системой в течение времени её непрерывной работы на интервале  . Причём, чем больше выработан этот ресурс, тем меньше вероятность безотказной работы системы после истечения времени  . Причём, чем больше выработан этот ресурс, тем меньше вероятность безотказной работы системы после истечения времени  t. 

Применим подобное рассуждение к процессу восстановления системы после отказа, но при условии, что контроль за состоянием её работоспособности неидеальный. Будем полагать, что время контроля по сравнению с продолжительностью работы системы мало и им можно пренебречь. Правильность (достоверность) выполненного контроля будем учитывать с помощью вероятности  , не зависящей от времени. Припишем данную вероятность к выражению вероятности невосстановления системы за время   t следующим образом:

(5)

 В выражении (5)  интенсивность восстановления, а  ресурс восстановления системы.

Заметим, что чем больше использован ресурс восстановления  системы, тем меньше вероятность невосстановления и тем больше вероятность противоположного события – вероятность её восстановления за время  t –  

(6)

 Это справедливо и для вероятности выполнения правильного контроля , чем она будет больше, тем больше вероятность восстановления системы и, наоборот, чем она будет меньше, тем меньше вероятность выполнения успешного восстановления системы за время t.  Иначе говоря, продолжительность восстановления будет определяться не только случайным временем восстановления, соответствующим исходной функции  распределения, а функцией распределения с параметром .

Чем больше эта вероятность к единице, тем меньше время восстановления системы после отказа. Напротив, чем меньше данная вероятность, тем будет больше время восстановления. Этот вывод справедлив и для среднего времени восстановления. Таким образом, мы связали достоверность процесса контроля системы не с процессом её безотказности, а с процессом её восстановления – будущим процессом в функционировании системы. Что это даёт?

Во-первых, мы можем воспользоваться теми же выражениями для оценивания готовности (1) -(3) .

Во-вторых, если мы имеем дело с исследованием системы с последовательной структурой, то можем решать как задачи оценивания готовности, так и задачи обеспечения и максимизации готовности при некоторых исходных распределениях безотказности и восстановления частей системы, а также предъявлять требования к вероятностям выполнения контроля её составных компонентов.

Замечание. Показатель экспоненты в формуле (5) называется ведущей функцией случайного процесса. При условии полного восстановления системы после отказа можно говорить о среднем периоде её регенерации. В данном случае он равен сумме среднего времени до отказа и среднего времени восстановления. Но так как среднее время восстановления в нашей модели зависит и от величины , то величина периода регенерации является функцией от .

III. Формальное изучение предложенной модели. Итак, имеем . Плотность вероятности будет представлена как  . Плотность вероятности удовлетворяет условию нормировки . Интенсивность восстановления  . Среднее время восстановления будет равно . 

 Рассмотрим частные случаи.
1.Экспоненциальный закон восстановления системы.

 . При когда контроль идеальный, получим исходное распределение. Коэффициент готовности системы равен .

2. Рассмотрим более сложное распределение, например, распределение Вейбулла. Тогда  , где параметры распределения. Исходный ресурс восстановленияа ресурс при наличии контроля – . Плотность вероятности и интенсивность соответственно . Среднее время восстановления где гамма-функция . Коэффициент готовности системы определяется как. Таким образом, здесь вычислительной трудности не возникает. 

3. Нормальное распределение восстановления. Исходные плотность вероятности восстановления и вероятность невосстановления  интенсивность определяется как. С учётом контроля ресурс восстановленинтенсивность восстановления. Вероятность невосстановления с контролем. С вычислительной точки зрения для определения среднего времени восстановления и коэффициента готовности системы это выражение может представить определённые трудности. Эти трудности можно обойти, если удаётся аппроксимировать нормальное распределение распределением Вейбулла.