УДК: 681.3.061

СМАГИН В.А.

О МОМЕНТЕ НАСТУПЛЕНИЯ БУДУЩЕГО СОБЫТИЯ

В СЛУЧАЙНОМ ПОТОКЕ СОБЫТИЙ

 

Ключевые слова: поток случайных событий, пара-

метр потока, плотность вероят-

ности, функция правдоподобия.

Введение. В теории надежности программного обеспечения (ПО) известна модель Седякина-Джелинского-Моранды [1]. Сущность этой модели  заключается в определении показателей надежности ПО на основе наблюдения ограниченного числа временных интервалов между ошибками в редеющем случайном потоке. Строится данная модель в предположении, что интервалы времени между ошибками распределены по экспоненциальному закону, обнаруживаемая ошибка исправляется мгновенно и в процессе ее исправления новой ошибки не вносится.

На основе наблюденных интервалов времени и числе ошибок записывается выражение для функции правдоподобия. Она используется для нахождения значений двух параметров: ожидаемого числа ошибок N и интенсивности (параметра) h случайного процесса до наступления первой ошибки. По их значениям и при условии допущения об единичной убыли числа ошибок в ПО с течением времени и находятся интересующие исследователя показатели надежности ПО.

В данной статье сделана попытка на основе указанных исходных данных определить или предсказать момент наступления будущей k+1 ошибки в ПО при условии, что k ошибок были наблюдены. Кроме того, приводится уточнение цитируемой модели в случае, когда при исправлении ошибки с определенной вероятностью может вноситься новая ошибка в ПО.

Далее, приводится обобщение модели Седякина-Джелинского-Моранды на тот случай, когда интервалы между ошибками распределены не по экспоненциальному, а произвольному (гладкому) закону распределения.

Наконец, в данной статье высказано замечание о том, что рассматриваемая модель может применяться не только для редеющего (молодеющего), но и сгущающего (стареющего) потока случайных событий. Прикладная значимость изучения такого потока, на наш взгляд, также достаточно очевидна.

Модель предсказания события в редеющем потоке. Пусть на оси времени в моменты z, наблюдались события потока. Момент

  • соответствует оси времени. Интервалы времени между моментами появления событий обозначим через Они определяются по формуле

    (1)

    Через обозначим параметр потока событий. Будем предполагать :

        1. Случайные величины имеют экспоненциальное распределение.
        2. Параметр потока событий меняется скачком на единицу при возникновении очередного события.
        3. События различных типов проявляются с одинаковыми закономерностями.
        4. Выражение для параметра имеет следующий вид:

          (2)

          где предполагаемое исходное число событий присущих полному потоку, коэффициент пропорциональности, имеющий физический смысл интенсивности проявления события одного типа. Его размерность обратно пропорциональна размерности времени. Таким образом, параметр имеет убывающую ступенчатую форму.

          Следует также отметить справедливость неравенства

          (3)

          Если рассматривается поток ошибок в ПО, то показатели его надежности принимают вид:

          1.Вероятность безошибочной работы за время при условии, что до начала этого интервала выявлено и устранено ошибок в ПО:

          (4)

          2. Средняя наработка на ошибку при условии, что выявленоошибок:

          (5)

          3. Плотность вероятности длительности безошибочной работы ПО при условии, что выявлено и устранено ошибок:

          (6)

        5. Вероятность устранения всех ошибок ПО за время :

    (7)

    где число сочетаний по событиям из имеющихся.

    5.Средняя длительность интервала времени , за который могут быть уст-

    ранены все ошибки ПО:

    (8)

    Для определения значений этих показателей необходимо найти оценки величин и по имеющимся экспериментальным данным.

    Воспользуемся методом максимального правдоподобия. Составим функцию правдоподобия:

    , (9)

    где плотность вероятности длительности го интервала в потоке событий.

    Для получения оценок необходимо взять частные производные по неизвестным и , приравнять их нулю и решить полученную систему уравнений. Однако, удобнее предварительно прологарифмировать (9):

    . (10)

    Для определения оценок получим систему уравнений максимального правдоподобия:

    (11)

    Для определения момента наступления события потока также составим функцию правдоподобия. Введем дополнительный индекс для различения предыдущей и новой функций, а именно, обозначим их как и                  

    Тогда можно записать: где

    плотность вероятности длительности интервала до будущего ненаблюдаемого события. Представим ее в виде:

    (12)

    где есть искомая длительность времени от го до го события.

    Прологарифмируем (11) и возьмем частные производные по параметрам

    Получим следующую систему уравнений:

    (13)

    Заметим, что параметры имеют право только для функции , для функции они являются приближенными. Допускаемая погрешность будет тем меньше, чем больше наблюдается событий

    Приравняем производные от логарифмов функций правдоподобия в обеих частях равенств (13) к нулю на основании их свойств. Тогда очевидно, что производные

    (14)

    Подставляя в любое из уравнений (14) значения найденных оценок , и решая его относительно , получим прогностическую оценку момента наступления будущего события в потоке. Подставляя (12) в (14) находим

    (15)

    Вероятность того, что величина прогнозируемого интервала будет больше составит только 0,368. Чтобы увеличить надежность прогноза, необходимо уменьшить величину времени прогнозирования по сравнению со средним временем прогнозирования .

    Получив значение , можно с помощью функции правдоподобия уточнить оценки и по ним сделать новый прогноз и т.д. Можно также на основе функции выполнить прогнозирование интервала, следующего за и так далее. Однако, надежность прогнозирования будет все более снижаться.

    Пример. В случайном потоке зафиксировано k=6 событий. Интервалы между событиями равны: 1,17,197,4257,83620,102900h. Составлена функция правдоподобия , введена функция

    В среде Mathcad 8 при начальных данных выполнена процедура минимизации и получены следующие результаты: . Прогнозируемое значение интервала времени до 7-го события Следует отметить достаточно высокую чувствительность получаемых результатов к значениям исходных данных. Поэтому требуется достаточно тщательный подбор значений исходных величин и .

    Учет вероятности внесения нового события. Если предположить, что после исправления обнаруженного события возможно внесение с некоторой вероятностью нового события, то соответствующая функция правдоподобия для модели Седякина-Джелинского-Моранды принимает вид:

    , (16)

    где есть вероятность невнесения нового, часто нежелательного, события

    Для исходных условий предыдущего примера и получим следующее значение прогнозируемого интервала времени Очевидно, оно будет уменьшаться с уменьшением вероятности

    Обобщение модели на случай произвольных распределений. Снимем

    предположение об экспоненциальном характере распределений интервалов времени между событиями потока. При этом закономерность изменения плотностей вероятности в зависимости от номеров событий оставим прежней. Необходимость введения подобной модели обуславливается тем, что предположение об экспоненциальных распределениях для интервалов времени реальных случайных процессов является весьма ограничительным.

    Для обобщения воспользуемся результатами работы [2]. В соответствии с ними любая (гладкая) плотность вероятности может быть представлена в виде суммы экспоненциальных плотностей вероятности с комплексно-сопряженными значениями параметров и весовых коэффициентов. В случае аппроксимации произвольной плотности одной парой экспоненциальных плотностей будем иметь:

    (17)

    где . В принятых в статье обозначениях ая плотность вероятности равна:

    . (18)

    Составим функцию правдоподобия , введем функцию

    В соответствии с [2] коэффициент Найдем частные производные от по параметрам и приравняем их нулю. Решим полученную систему уравнений в условиях приведенного ранее примера при начальных условиях ,

    тогда в среде Mathcad 8 получим:

    .

    Согласно выражению (14) подставим полученные данные в любое из

    четырех уравнений ,например, . Далее,

    при начальных данных

    используем процедуру Mathcad 8:и находим Таким образом, прогнозируемое значение интервала времени до следующего, седьмого, события составит 726900h. По сравнению с ранее полученным результатом данное значение отличается в большую сторону на порядок (?).

    Корректировка модели для “стареющего”потока. Изучаемая модель может использоваться и для исследования свойств потока, события в котором становятся в среднем более частыми с течением времени. Для этого нужно в формулы для плотностей вероятностей поставить значения вместо и пользоваться теми же приемами, которые приведены в тексте.

    Заключение. В статье изучены прогностические возможности модели Седякина-Джелинского-Моранды на основе функции максимального правдоподобия. Приведено основное уравнение для прогноза будущего интервала времени, лежащего за последним наблюденным событием потока. Дано обобщение прогностической модели на случай использования произвольных распределений.

    Прикладное значение полученных результатов состоит в том, что они могут непосредственно использоваться при анализе и обеспечении надежности сложных программных комплексов. Кроме того, полученные теоретические результаты могут найти применение и при изучении других потоков событий, природа которых не связана со временем.

    Литература

    1.Смагин В.А.,Солдатенко В.С.,Кузнецов В.В. Моделирование и обеспе- чение надежности программных средств АСУ.-СПб.-1999.-49c.

    2.Смагин В.А. Об одном методе исследования немарковских систем. АН СССР. Техническая кибернетика.-М: 1983, № 6,C.31-36.

    UDС 681.3.061

    V.A.Smagin

    About the moment of approach of the future event

    a casual flow events.

    Key words: a stream of casual events,

    parameter of a stream, den-

    density of probability, func-

    tion of plausibility.

    Abstract.

    V.A.Smagin. About the moment of approach of the future event a casual flow events.

    The opportunity of a prediction of the moment of approach of the future event in a casual flow of events on base of model Sedyakina-Djelinski-Morandi is investigated. Is given generalization of model for any distributions of intervals of time between events of a flow.

    The bibliographies 2.

    Владимир Александрович,

    e-mail: va_smagin@mail.ru,

    тел. (812)235-27-78

     

    P.S. "Компания открытых систем" приглашает всех заинтересованных лиц ( математиков,  научных работников, проектировщиков программных комплексов и др.) дать свои комментарии по поводу данной  книги господина В.А. Смагина и прислать их на наш email: Sirine@mail.ru или непосредственно автору va_smagin@mail.ru. Наиболее интересные статьи, комментарии, высказывания обязательно будут опубликованы.

    Назад

     

    РУССКИЕ ХУДОЖНИКИ  ***   RUSSIAN ARTISTS

    Только подписка гарантирует Вам оперативное получение информации о новинках данного раздела


    Желтые стр. СИРИНА - Новости - подписка через Subscribe.Ru

    Copyright © КОМПАНИЯ ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ. Все права сохраняются.
    Последняя редакция: Декабрь 09, 2009 13:43:25.