9. Элементарные модели вероятностного анализа комплексной переменной

Во многих научных задачах прикладного характера широко используется математический аппарат теории вероятностей вещественного переменного. При этом рассматриваются как простые, так и векторные случайные величины. Функции распределения этих величин являются вещественными функциями. Компоненты случайных векторов, как правило, представляются вещественными величинами [41].

Известно, что введение комплексной переменной привело к важным открытиям в математике. Многие теоремы современного анализа оказываются неверными, когда ограничиваются рассмотрением действительных чисел [42]. Введение поля комплексных чисел (z = x+iy, где i= – мнимая единица) как коммутативной алгебры с делением ранга два над полем действительных чисел привело к существенному расширению математического описания различных физических процессов, позволило получить глубокие теоретические результаты при изучении свойств безгранично делимых законов распределения [43] и в некоторых других прикладных областях математики. Так, например, эффективным методом решения задач теории массового обслуживания, теории надежности явился метод “комплексных вероятностей” Кокса [44], предполагающий использование фиктивных этапов, фаз случайного процесса, описываемых комплексными величинами. При этом вероятности состояний остаются реальными. Применив этот метод, можно охватить случаи, когда плотность вероятности аппроксимируется суммой экспонент с полиномиальными множителями [45]. В статье [40] получено разложение произвольной гладкой плотности вероятности на сумму экспоненциальных плотностей с комплексными параметрами и коэффициентами. Дальнейшее развитие и применение идеи [40] приведено в монографиях [37, 46] и в ряде статей.

Расширением комплексных чисел является поле кватернионов Гамильтона, образующих некоммутативную алгебру с делением над полем действительных чисел. При этом каждый кватернион может быть представлен в виде

,

где – действительные числа, i, j, k – специальные кватернионы, образующие вместе с действительной единицей базис четырехмерного пространства и удовлетворяющие условиям

Использование кватернионов и комплексных чисел в теории вероятностей для описания многомерных случайных процессов и решения научно-технических задач, по нашему мнению, имеет большие перспективы и требует широкого изучения. Поэтому мы обращаем внимание исследователей на существо предлагаемого формального подхода и построение элементарного вероятностного анализа комплексной переменной, рассмотрения его отдельных конструкций и примеров прикладного характера [51,52].

Распределение случайного вектора на комплексной плоскости. Дан вектор на плоскости (1, i), величины X, Y которого случайны. Известны плотности вероятностей этих величин , определённые на полуоси . Величины X, Y независимы. Требуется найти плотность вероятности величины Z.

Введём понятие дельта-функции Дирака на плоскости , где – комплексные переменная и число соответственно. Тогда на основании правила нахождения плотности вероятности с помощью -функции [41] имеем:

(133)

Преобразование Лапласа данной плотности

(134)

где *, s – символ и переменная преобразования Лапласа.

Используя (134) и правило нахождения начальных моментов (предполагая, что они существуют) получим моменты случайного вектора Z:

; и т.д. (135)

В общем случае момент i-го порядка находиться символически по формуле биномиального разложения

, (136)

при этом вместо степени, в которую возводиться любой из сомножителей при разложении, в верхних скобках необходимо записывать соответствующий номер момента.

Вычислим дисперсию и коэффициент вариации вектора Z:

, (137)

. (138)

Заметим из (138), что если

,

то

 ,

если

 ,

то

 .

Функция и дополнительная функция распределения, согласно правилу интегрирования аналитических функций [47], равны:

, . (139)

Из первой формулы (139) получаем:

, (140)

где – функции распределения случайных величин X, Y соответственно.

Таким образом, формально получаем вероятностное распределение случайного вектора, вещественные компоненты которого заданы своими распределениями. Отличием данной формализации от общепринятой для случайного вектора [41, 43] является то, что каждой компоненте вектора приписан свой вес, а именно величине X – вещественная единица, а величине Y – мнимая единица . Этот факт, с нашей точки зрения, является достаточно существенным.

Аналогичные (133)-(140) результаты можно получить, если использовать понятие характеристической функции

. (141)

Действительно, характеристическая функция случайного вектора

 

будет равна

. (142)

В формуле (142) использована теорема о том, что если случайную величину умножить на постоянную величину , то аргумент характеристической функции необходимо умножить на эту постоянную. Формально выражения (134) и (142) совпадают. Найдём из (142), например, первые четыре начальных момента случайного вектора Z:

, , , , (143)

где число штрихов означает номер производной от характеристической функции по t. Нетрудно убедиться, что выражения для моментов, полученные из (142), совпадают с (135) и (136).

Выражение (142) удобно использовать для нахождения семиинвариантов Ck случайного вектора Z:

, k=0, 1, 2, ..., (144)

где

, .

Здесь ikk-ая степень i, а индекс k у функции есть k-я производная логарифма характеристической функции. Из выражения (144) получаем значения семиинвариантов случайного вектора Z:

; ;

; (1.45)

и т.д.

Из приведенных формул следует, что случайный вектор Z, плотность вероятности случайного вектора , его функция распределения , начальные моменты и семиинварианты являются комплексными величинами или функциями комплексной переменной. Для нахождения можно пользоваться либо выражением (133) с применением -функции на комплексной плоскости, либо с применением характеристической функции (142).

Примеры распределения комплексной переменной. В приводимых примерах компоненты X, Y полагаются независимыми.

Пример 1. Найти плотность вероятности случайного вектора , если заданы плотности вероятности X, Y:

; ; . (146)

Из формулы (133) получаем

. (147)

Следует учесть в (147), что . Результат для нетрудно подтвердить, используя характеристическую функцию вектора Z, разлагая её выражение на два слагаемых и применяя теорему о вычетах [47]. Соответствующая функция распределения вектора имеет вид распределения Эрланга

. (148)

Пример 2. Найти плотность вероятности величины при тех же распределениях X, Y, что и в примере 1. По формуле (133) получаем

, (149)

при этом

,

но случайная величина Z не имеет моментов.

Пример 3. Найти плотность вероятности величины при тех же распределениях X и Y. Будем иметь

. (150)

Пример 4. Плотность вероятности величины при тех же экспоненциальных распределениях X и Y равна

. (151)

Пример 5. Плотность вероятности для функции , где n любое дробное или целое число, при экспоненциальных распределениях для X и Y равна

. (152)

Пример 6. Найти плотность вероятности случайного вектора , если X и Y распределены нормально на оси (–Ґ ,Ґ )

, . (153)

Из (133) получаем

, (154)

где . Из (154) следует, что суммирование случайных величин X и Y с весовыми коэффициентами 1 и i инвариантно к распределениям слагаемых с точностью до модуля для нормальных законов распределения.

Если рассмотреть усечённые нормальные плотности для X и Y на полуоси [0, Ґ ), тогда получаем

, (155)

где С – постоянная величина.

Пример 7. Найти плотность вероятности случайного вектора , если плотности вероятности X и Y равномерны :

, , , (156)

Для решения данного примера применение (133) более затруднительно, чем применение метода характеристической функции [41]. В терминах характеристической функции будем иметь:

. (157)

Для получения (157) использована формула

, (158)

вертикальные скобки означают модуль заключенной в них величины.

Если при случайных величинах X и Y вектора Z отсутствуют весовые коэффициенты 1, i, то плотность вероятности суммы представляют собой трапецию, большее основание которой расположено на оси абсцисс симметрично относительно начала координат [41]. В нашем случае (157) область задания величины случайного вектора представляет собой прямоугольник на комплексной плоскости, а значение плотности над этим прямоугольником – некоторую пространственную область (призму) искомой комплексной функции. Геометрическая интерпретация этой области без компьютерного анализа затруднительна.

Пример 8. Поставим вопрос о нахождении распределения случайной величины , когда величины X и Y распределены дискретно, например по закону Пуассона:

, , (159)

Используя (133), имеем

. (160)

Строго соотношение (160) доказать не удается. Можно лишь утверждать, что оно верно с точностью до модуля |z|. При этом мы приняли соглашения, что

; .

Воспользуемся характеристической функцией (142), тогда будем иметь

. (161)

Рассмотрим показатель

. (162)

Исходя из того, что

, ,

получаем

. (163)

Поскольку

, ,

а

 , ,

находим

, (164)

что соответствует

. (165)

Отсюда можно заключить, что если наше приближение с точностью до модуля справедливо, тогда распределение случайного дискретного вектора инвариантно по отношению к распределению Пуассона для слагаемых [43].

 

Простейшие примеры прикладного характера.

Пример 1. Случайный вектор Z, величина которого распределена на плоскости (1, i) с функцией распределения , приближается совокупностью малых неслучайных векторов . Между векторами имеются некоторые потери, представленные неслучайным вектором потерь сz. Требуется найти такой вектор , чтобы суммарные потери от покрытия случайного вектора Z векторами в среднем были бы минимальными. Потери от покрытия составляют потери от промежуточных потерь и потерь от неполного покрытия конечного вектора . Задача подобного вида для вещественных величин была впервые сформулирована и решена в работе [48] применительно к записи случайного количества информации квантами на магнитную ленту. Аналогичная задача в векторном представлении может быть сформулирована для различных практических ситуаций (в экономике, теории контроля, теории надежности, эксплуатации и т.д.). В нашем случае средняя величина потерь может быть представлена как

, (166)

где

 .

Дифференцируя (166) по

 

и приравнивая к нулю получим

, (167)

проекции вектора

 

на соответствующие оси равны:

; ;

; . (168)

Заметим, что для увеличения точности решения данной задачи следует минимизировать не величину (166), а величину

. (169)

Пример 2. На плоскости наблюдается альтернирующий процесс восстановления с плотностями вероятности длительностей импульсов и пауз и , . Требуется найти вероятность попадания окружности радиуса R, проведенной из начала координат, на основание импульса при условии (стационарная вероятность). В преобразовании Лапласа из [18] запишем

, (170)

где – изображение вероятности, символ и переменная Лапласа.

При s ® 0 из (170) найдем значение искомой вероятности

. (171)

Найденная вероятность представляет собой комплексную величину, имеющую модуль (амплитуду) и угол сдвига (фазу) . Физическая интерпретация комплексной вероятности в данном случае тривиальна. Когда , получим обычную вещественную вероятность. Данный пример указывает на возможность построения теории восстановления на плоскости [18].

Пример 3.Для многих прикладных задач современной теории эффективности часто возникает необходимость в определении функции распределения супериндикаторов W1 и W2 [49]. На плоскости заданы два случайных вектора

 

и

 

своими плотностями вероятности

 .

Положим, что компоненты обоих векторов распределены по экспоненциальным законам на полуоси

.

Тогда (в обозначениях [49])

, (172)

, (173)

, (174)

где , , – параметры экспоненциальных распределений компонент векторов. Находя обратную функцию и подставляя её в (172), получим искомую функцию распределения W1. Однако в явном виде не находится. Для простоты и наглядности решения аппроксимируем экспоненциальным распределением с параметром , а именно

,

тогда

.

Поэтому окончательно

. (175)

В данном случае аргумент и функция являются комплексной величиной и функцией комплексной переменной. Этот пример показывает применимость вероятностного анализа комплексной переменной к нахождению функции распределения супериндикатора, используемого в теории эффективности [49], но рассматриваемого на комплексной плоскости.

Пример 4. На плоскости задана прямая . Из начала координат (0, 0) может двигаться точка с шагом единичной длины в направлении оси x с вероятностью p, в направлении оси y – с вероятностью q. При этом p+q =1. После завершения очередного шага осуществляется выбор следующего шага с теми же вероятностями p и q. Точка завершает свое перемещение попав в одну из точек, лежащих на прямой . Требуется найти вероятностные характеристики случайных траекторий перемещения точки до прямой.

Рассмотрим траектории с фиксированным числом шагов по оси x–3–k, по оси yk. Соответствующий случайный вектор этих траекторий описывается комплексной переменной z = (3–k)+ik. Очевидно, что вероятность наблюдения вектора z будет равна . Поэтому закон распределения величины z может быть представлен как

. (176)

Найдем начальные моменты случайной величины z:

где D – область возможного суммирования. В результате вычисления, например, получим:

.

Коэффициент вариации достигает максимального значения при и будет равен.

Несколько усложним данную задачу. Пусть х + iy = n, где n – произвольное целое число. Тогда

. (177)

При больших n

. (178)

Совместное использование (177)и (178) приводит к приближенному выражению для плотности вероятности случайной величины z

, (179)

из которой найдем

. (180)

При получим . Асимптотическое значение из (180) при n=3, конечно, не должно совпадать с полученным ранее.

Данный пример демонстрирует возможность применения вероятностного анализа комплексной переменной к задачам случайного блуждания [50].

В качестве заключения отметим, что при действиях с векторными случайными величинами на комплексной плоскости предлагается каждой вещественной компоненте вектора приписывать свой весовой коэффициент принадлежности к оси: вещественную или мнимую единицу. В вероятностном анализе одной вещественной переменной это выполняется всегда. Однако, в векторном вероятностном анализе, как правило, компоненты вектора рассматриваются с соответствующими весовыми коэффициентами лишь в самых простейших случаях (например, при определении математического ожидания [41]). При этом вероятностная мера всегда рассматривается только как вещественная величина. Предложенный подход отличается тем, что вероятностная мера рассматривается как функция комплексной переменной, имеющая действительную и мнимую части. Заметим, что данное обстоятельство затрудняет восприятие вероятности такого типа и её интерпретацию.

Введена дельта-функция на комплексной плоскости. Она использована для нахождения плотностей вероятности случайного вектора и элементарных аналитических функций комплексной переменной. Корректность выводов подтверждена использованием характеристической функции случайного вектора. Приведены примеры плотностей вероятности комплексной переменной. При этом компоненты случайного вектора-аргумента независимы, непрерывны либо дискретны.

Рассмотренные примеры прикладного характера, на наш взгляд, показывают практическую значимость вероятностного анализа комплексной переменной.

Следует особо отметить, что вопросы об однозначности вероятностной меры в связи с монотонностью аналитических функций и о представлении меры в пространстве требуют дальнейшего изучения.

 

ЛИТЕРАТУРА

  1. Абдеев Р.Ф. Философия информационной цивилизации. – М.: ВЛАДОС, 1994. – 336 с.
  2. Синергетика и методы науки./ Под ред. М.А. Баскина. – СПб.: Наука, 1998. – 439 с.
  3. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. – М.: ГИФМЛ. – 1961. – 523 с.
  4. Haynes R.D., Thompson W.E. Hardware and software reliability and confidence limits for computer-controlled systems. Microelectronics and reliability, 1980, v.20, N.1-2, pp.109-122.
  5. Голяков А.Д., Миронов В.И., Смирнов В.В. Испытания систем ракетно-космической техники. – СПб. – 1992. – 398 с.
  6. Кузнецов В.В., Смагин В.А. Прямая и обратная задачи надежности сложных программных комплексов // Надежность и контроль качества. – 1997. – № 10. – С.56-62.
  7. Муса Дж.Д. Измерение и обеспечение надежности программных средств. // ТИИЭР, Т.68, №9, 1980.
  8. Липаев В.В. Качество программного обеспечения. – М.: Финансы и статистика. – 1983. – 261 c.
  9. Карповский Е.Я., Чижов С.А. Надежность программной продукции. – Киев: Техника, 1990. – 160 c.
  10. Баглюк С.И., Мальцев М.Г., Смагин В.А., Филимонихин Г.В. Надежность функционирования программного обеспечения. – СПб.: МО – 1991. – 78 c.
  11. Смагин В.А., Бубнов В.П., Филимонихин Г.В. Расчет вероятностно-временных характеристик пребывания задач в сетевой модели массового обслуживания // Изв. ВУЗов. Приборостроение. – Т.ХХХII – № 2. – 1989. – C.23–25
  12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – M.: Наука. – 1988. – 548 c.
  13. Смирнов В.И. Курс высшей математики. – Т.1. – M.: ГИТТЛ. – 1956. – 480 c.
  14. Флейшман Б.С. Элементы теории потенциальной эффективности сложных систем. – М.: Сов.радио, 1971. – 226 с.
  15. Дружинин Г.В. Процессы технического обслуживания автоматизированных систем. – М.: Энергия, 1973. – 226 с.
  16. Седякин Н.М. Об одном физическом принципе теории надежности. //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. – 1966. – № 3. – С.80–87.
  17. Смагин В.А. Средняя частота отказов при ненадежных элементах замены.// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. –1975. – № 3. – С.118–120.
  18. Кокс Д., Смит Р. Теория восстановления. – М.: Сов. радио, 1967. – 278 с.
  19. Каштанов В.А. Полумарковские модели процесса технического обслуживания. – М.: Знание, 1987. – 91 с.
  20. Mysa J. A theory of software reliability and its application. // IEEE Trans. on software Eng., vol.SE-1, sept.1975. – P. 312–327.
  21. Половко А.М. Основы теории надёжности. – М.: Наука, 1964. – 446 с.
  22. Смагин В.А. Физико-вероятностные модели прогнозирования надёжности изделий на основе форсирования испытаний// Надёжность и контроль качества. – 1998. – № 4. – С.15-23.
  23. Литвинский И.Е., Прохоренко В.А. Обеспечение безотказности персональных ЭВМ. – М.: Радио и связь, 1993. – 206 с.
  24. Смагин В.А. Физический принцип надежности. Обратная задача. // АВТ.– 1975. – № 5. – С.22–28.
  25. Перроте А.И., Карташов Г.Д., Цветаев К.Н. Основы ускоренных испытаний радиоэлементов на надежность. – М.: Сов.радио, 1968. – 221с.
  26. Садыхов Г.С. Аналитическая зависимость показателей ресурса.//Стандарты и качество. –1996. – №1. – С.43-47.
  27. Вопросы математической теории надежности./ Под ред. Б.В. Гнеденко. – М.: Радио и связь, 1983. – 376 с.
  28. Липаев В.В. Надежность программных средств. – М.: СИНТЕГ, 1998. – 232 с.
  29. Смагин В.А., Солдатенко В.С., Кузнецов В.В. Моделирование и обеспечение надежности программных средств АСУ. – СПб, 1999. – 49 с.
  30. Якубайтис Э.А. Информационно-вычислительные сети. – М.: Финансы и статистика, 1984. – 232 с.
  31. Смагин В.А., Филимонихин Г.В. Аппроксимационный метод расчёта разомкнутых сетей массового обслуживания // АВТ. – 1986. – № 4. – С.28-33.
  32. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы теории надежности. – М.: Наука, 1965. – 534 с.
  33. Афанасьев В.Г., Зеленцов В.А., Миронов А.Н. Методы анализа надёжности и критичности отказов сложных систем. – СПб., 1992. – 100 с.
  34. Слабарь А.А., Смагин В.А., Шептуха С.М. Эксплуатация средств вычислительной техники ч.1. – МО РФ, 1987. – 324 с.
  35. Павлов И.В. Статистические методы оценки надёжности сложных систем по результатам испытаний. – М.: Радио и связь, 1982. – 168 с.
  36. Fisher R.A. The fiducial argument in statistical inference. – Ann. of Eugenics. – 1935, v.5, № 3. – Р.391.
  37. Смагин В.А. Аппроксимационные методы исследования вычислительных систем и сетей. – СПб, 1996, – 90 с.
  38. Горяинов В.Т., Журавлёв А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. – М.: Сов. радио, 1980. – 544 с.
  39. Смирнов В.И. Курс высшей математики. – Т.2. – M.: ГИТТЛ, 1956. – 628 c.
  40. Смагин В.А. Об одном методе исследования немарковских систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. – № 6, 1983. – С.31-36.
  41. Пугачёв В.С. Теория случайных функций. – М.: ГИФМЛ. – 1962. – 883с.
  42. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. – М.: ГИФМЛ, 1963. – Т.1. – 344с.
  43. Линник Ю.В., Островский И.В. Разложение случайных величин и векторов. – М. Наука, 1972. – 480с.
  44. Сох P.R. A use of complex probabilities in the theory of stochastic processes. – Proc. Cambr.Soc., V.51. – 1955.
  45. Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания. – М.: Связь, 1966. – 184с.
  46. Хомоненко А.Д. Численные методы анализа систем и сетей массового обслуживания. – СПб, 1991. – 195с.
  47. Фукс Б.А., Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. – М.: Наука, 1964. – 387с.
  48. Андронов А.М., Бокоев Т.Н. Оптимальное в смысле заполнения квантование информации. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. – 1979. – №3. – С.154–158.
  49. Петухов Г.Б. Основы теории эффективности целенаправленных процессов. Ч.1. Методология, методы, модели. – СПб, 1989. – 660с.

50.Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. – М.: МИР, 1969. – 472 с.

51. Гаценко О.Ю., Смагин В.А. Элементы вероятностного анализа комплексной переменной. – СПб., 1998. – 18 с.

52. Смагин В.А. Вероятностный анализ комплексной переменной // АВТ. – 1999. - № 2. – С.3-13.

На оглавление

 

P.S. "Компания открытых систем" приглашает всех заинтересованных лиц ( математиков,  научных работников, проектировщиков программных комплексов и др.) дать свои комментарии по поводу данной  книги господина В.А. Смагина и прислать их на наш email: Sirine@mail.ru или непосредственно автору va_smagin@mail.ru. Наиболее интересные статьи, комментарии, высказывания обязательно будут опубликованы.

Назад

Только подписка гарантирует Вам оперативное получение информации о новинках данного раздела


Желтые стр. СИРИНА - Новости - подписка через Subscribe.Ru

Copyright © КОМПАНИЯ ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ. Все права сохраняются.
Последняя редакция: Декабрь 09, 2009 13:41:59.